Kebebasan linear atau ketidakbebasan linear dari vektor-vektor

 4). Pembahasan:

 

Tentukan apakah v1 = (1,1,2), v2 = (1,0,1) v3 = (2,1,3)

merentangkan ruang vektor R3

Penyelesaian

Harus ditentukan apakah suatu vektor sembarang b=(b1,b2,b3) dalam R3 dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear

dari vektor-vektor v1, v2, v3

Maka didapat:

Atau

Sehingga diperoleh persamaan: Persamaan diselesaikan menggunakan OBE, Terdapat baris 0 pada matriks setelah direduksi, sehingga ada vektor di R3 yang bukan merupakan kombinasi linear dari v1, v2, v3. . Jadi v1, v2, v3 tidak membangun R3.

5). Pembahasan:

 

Kebebasan linear atau ketidakbebasan linear dari vektor-vektor ini ditentukan oleh persamaan vektor:

 

k1v1+k2v2+k3v3=0

Kita tulis ulang dalam bentuk komponen:

 

(K1+5K2+3K3,-K1+6K2+2K3,3K1-K2+K3)=(0,0,0)

Dengan menyamakan komponen yang bersesuaian akan memberikan

 

K1+5K2+3K3

Jadi, v1,v2v1,v2, dan v3v3 membentuk himpunan takbebas linear jika sistem ini mempunyai pemecahan takrivial, atau membentuk himpunan bebas linear jika sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial. Dengan memecahkan sistem ini maka akan menghasilkan

 

k1= -1/2t ,  K2= -1/2t , K3=t

Karena sistem tersebut mempunyai pemecahan taktrivial maka v1,v2v1,v2, dan v3v3 membentuk himpunan tak bebas linear.

 

Karena kita telah menetapkan bahwa vektor v1,v2v1,v2, dan v3v3 adalah takbebas linear, maka setidaknya salah satu dari vektor-vektor tersebut adalah kombinasi linear dari yang lain. Seperti yang bisa dilihat, vektor v3v3 adalah kombinasi linear dari vektor v1v1 dan v2v2.